Ensembles finis Exemples

$x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 5 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 \sqrt{5}$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{5})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{5}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $20$ de $20$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm 0}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.9

$2 \sqrt{5}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{5}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.3.2

Divisez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$x = \sqrt{5}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \sqrt{5}$ Racines doubles